在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，多項(xiàng)式是由變量以及標(biāo)量（一般是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)）經(jīng)乘法及加法構(gòu)法而成，屬于整式的代數(shù)式。下列四種都是多項(xiàng)式： 多項(xiàng)式中每一個(gè) x n 皆稱之為多項(xiàng)式的項(xiàng) 次數(shù)：多項(xiàng)式 x n 中每一項(xiàng)的n為此項(xiàng)的次數(shù) 同次項(xiàng)：若有多個(gè)多項(xiàng)式，其中每一項(xiàng)的 x k 項(xiàng)稱之為同次項(xiàng) 首項(xiàng)：指多項(xiàng)式的項(xiàng)中次數(shù)最大者，若多項(xiàng)式首項(xiàng)為n，則稱此多項(xiàng)式為n次多項(xiàng)式

(資料圖片)

非多項(xiàng)式的例子：

這些式子的變量位在分母，稱作分式，并非多項(xiàng)式。

及  也是多項(xiàng)式，但若然及是可置換的變量，即，則這兩個(gè)多項(xiàng)式是相同的。

單項(xiàng)式是指可以純粹由乘法構(gòu)法的多項(xiàng)式，如: 、 及 。單項(xiàng)式其實(shí)是不含加法或減法運(yùn)算的整式.

（注：有說(shuō)單項(xiàng)式不是多項(xiàng)式，而多項(xiàng)式是由起碼兩個(gè)或以上的單項(xiàng)式相加起來(lái)而成。這是最常見(jiàn)單項(xiàng)式及多項(xiàng)式的定義。但多項(xiàng)式相加也可以是單項(xiàng)式，如，這個(gè)區(qū)分令理論研究變得復(fù)雜。若然把單項(xiàng)式也歸納為多項(xiàng)式，則多項(xiàng)式相加的和也是多項(xiàng)式，情況比較簡(jiǎn)單。）

幾何學(xué)中，多項(xiàng)式是最簡(jiǎn)單的平滑曲線。簡(jiǎn)單是指它僅由乘法及加法構(gòu)法；平滑皆因它類同口語(yǔ)中的平滑——以數(shù)學(xué)述語(yǔ)來(lái)說(shuō)，它是無(wú)限可微，即可以對(duì)它的所有高次微分都存在。事實(shí)上，多項(xiàng)式的微分也是多項(xiàng)式。

簡(jiǎn)單及平滑的特點(diǎn)，使它在數(shù)值分析，圖論，以及電腦繪圖等，都發(fā)揮極大的作用。

歷史

多項(xiàng)式的研究，源于“代數(shù)方程求解”， 是最古老數(shù)學(xué)問(wèn)題之一。有些代數(shù)方程，如x+1=0，在負(fù)數(shù)被接受前，被認(rèn)為是無(wú)解的。另一些多項(xiàng)式，如f(x)=x2 + 1，是沒(méi)有任何根的——嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，是沒(méi)有任何實(shí)數(shù)根。若我們?nèi)菰S復(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)多項(xiàng)式或復(fù)數(shù)多項(xiàng)式都是有根的，這就是代數(shù)基本定理。

能否用根式求解的方法，表達(dá)出多項(xiàng)式的根，曾經(jīng)是文藝復(fù)興后歐洲數(shù)學(xué)主要課題。一元二次多項(xiàng)式的根相對(duì)容易。三次多項(xiàng)式的根需要引入復(fù)數(shù)來(lái)表示，即使是實(shí)數(shù)多項(xiàng)式的實(shí)數(shù)根。四次多項(xiàng)式的情況也是如此。經(jīng)過(guò)多年，數(shù)學(xué)家仍找不到用根式求解五次多項(xiàng)式的一般方法，終于在1824年阿貝爾證明了這種一般的解法不存在，震掝數(shù)壇。數(shù)年后，伽羅華引入了群的概念，證明不存在用根式求解五次或以上的多項(xiàng)式的一般方法，其理論被引申為伽羅瓦理論。伽羅瓦理論也證明了古希臘難題三等分角不可能。另一個(gè)難題化圓為方的不可能證明，亦與多項(xiàng)式有關(guān)，證明的中心是圓周率乃一個(gè)超越數(shù)，即它不是有理數(shù)多項(xiàng)式的根。

正式定義

給一個(gè)環(huán) R（可以是實(shí)數(shù)環(huán)，復(fù)數(shù)環(huán)或其他）及一個(gè)變量 x，則多項(xiàng)式是以下代數(shù)式：

，

當(dāng)中 a0, …, an是 R的元素。用 Σ表達(dá)法，有

容易證明，多項(xiàng)式的和或積都是多項(xiàng)式，即多項(xiàng)式組成一個(gè)環(huán) R[x]，稱為 R上的（一元）多項(xiàng)式環(huán)。（注：在最一般的定義，a2x、xa2及 axa可以當(dāng)作是不同的多項(xiàng)式，是不可置換環(huán)的例子。）

對(duì)于多變量多項(xiàng)式，我們可以類似方式定義。一個(gè)有 n個(gè)變量的多項(xiàng)式，稱為 n元多項(xiàng)式。通常以 R[x,y,z]表示 R為系數(shù)環(huán)，x，y及 z為變量的多項(xiàng)式環(huán)。

在  中， 稱為單項(xiàng)式，其中 a∈ R是系數(shù)而 為非負(fù)整數(shù)，是  的次數(shù)。 是這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。

多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)

若多項(xiàng)式以最少的單項(xiàng)式之和呈現(xiàn)，則每一個(gè)單項(xiàng)式都被稱為此多項(xiàng)式的項(xiàng)，而項(xiàng)的數(shù)目稱為項(xiàng)數(shù)。

例如多項(xiàng)式  的項(xiàng)數(shù)是四，故稱為四項(xiàng)式。當(dāng)中的 、 、、 、都是此多項(xiàng)式的項(xiàng)。

以上例子中的多項(xiàng)式可以寫(xiě)成四個(gè)以上單項(xiàng)式的和，如  是五個(gè)單項(xiàng)式的和。是以必須強(qiáng)調(diào)最少的單項(xiàng)式之和。

另外的例子是  共有二項(xiàng)，此多項(xiàng)式稱二項(xiàng)式。

（注：若把  看作成在 R[c][x,y]=(R[c])[x,y] 中的多項(xiàng)式，則它只是三項(xiàng)式，分別是 、 、及 。 ）

若是未知數(shù)X、Y、Z等若出現(xiàn)在分母里、根號(hào)里或是絕對(duì)值中，就不能定義為“多項(xiàng)式”。例如：

，因?yàn)槌霈F(xiàn)在分母里，所以不是多項(xiàng)式。，因?yàn)槌霈F(xiàn)在根號(hào)里，所以不是多項(xiàng)式。，因?yàn)槌霈F(xiàn)在絕對(duì)值里，所以不是多項(xiàng)式。

變項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)

多項(xiàng)式中含有變量的項(xiàng)稱為變項(xiàng)，祇有數(shù)字的項(xiàng)稱為常數(shù)項(xiàng)。 例如多項(xiàng)式: 中的  、  、  、 都是此多項(xiàng)式的變項(xiàng)。而是常數(shù)項(xiàng)。

（注：若把  看作成在 R[c][x,y]=(R[c])[x,y] 中的多項(xiàng)式，則  才是常數(shù)項(xiàng)。 ）

多項(xiàng)式的“元”

多項(xiàng)式中的變量種類稱為元，各種變量以各字母表達(dá)(注:通常是x、y、z)，一個(gè)多項(xiàng)式有n種變量就稱為n元多項(xiàng)式。

例如： 中有、 二元，是二元多項(xiàng)式。因有四項(xiàng)，可稱二元四項(xiàng)式。

多項(xiàng)式的次數(shù)

多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù),即此多項(xiàng)式的次數(shù)。

例如多項(xiàng)式： 中  的次數(shù)最高，有三次方，故此多項(xiàng)式的次數(shù)為三。 因而此多項(xiàng)式可稱為三元三次四項(xiàng)式。稱為三次項(xiàng)，及 稱為一次項(xiàng)或線性項(xiàng)，而 5 是 0 次項(xiàng)或常數(shù)項(xiàng)。

又例如多項(xiàng)式 ， 與  二項(xiàng)都是一次方，而常數(shù)項(xiàng)是零次方。故此多項(xiàng)式的次數(shù)為一。而此多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)為三，可稱為一次三項(xiàng)式。

常數(shù)項(xiàng)是零次方因?yàn)榭杀灰暈槭?。而任何非零數(shù)字零次方都是1，故，常數(shù)項(xiàng)的次數(shù)都為0。

又例如  的首項(xiàng)是五次，次項(xiàng)是四次，所以是個(gè)三元五次多項(xiàng)式。（注：若把  看作成在 R[c][x,y]=(R[c])[x,y] 中的多項(xiàng)式，則第一項(xiàng)是三次而系數(shù)為 c2，第二項(xiàng)是四次，是個(gè)二元四次多項(xiàng)式。 ）

多項(xiàng)式 p的次數(shù)，記作 deg(p)，由英語(yǔ) degree 而來(lái)。，所以0這一多項(xiàng)式不計(jì)次數(shù)，故稱為零多項(xiàng)式。常數(shù)多項(xiàng)式分為零次多項(xiàng)式和零多項(xiàng)式。所謂零次多項(xiàng)式是指每一個(gè)項(xiàng)（常數(shù)項(xiàng)除外）的系數(shù)都是0，而零多項(xiàng)式則指每一項(xiàng)的系數(shù)（包括常數(shù)項(xiàng)）都是0。1 次多項(xiàng)式又稱為 線性多項(xiàng)式。多項(xiàng)式中的一次項(xiàng)又稱為線性項(xiàng)。

多項(xiàng)式的升冪及降冪排列

多項(xiàng)式可依各單項(xiàng)式元的次數(shù)排列。

次數(shù)從低到高是升冪排列。 例如：以下多項(xiàng)式，從排到

次數(shù)從高到低是降冪排列。 例如：以下多項(xiàng)式，從排到

若一多項(xiàng)式為多元多項(xiàng)式，可依照其中一元排列。

例如:是依X的次數(shù)排列。

亦可以y的次數(shù)排列。

例如:

一元多項(xiàng)式

一元多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)，稱為首項(xiàng)，其系數(shù)稱為該多項(xiàng)式的首項(xiàng)系數(shù)。如  的首項(xiàng)系數(shù)為 3。首項(xiàng)系數(shù)為 1 的多項(xiàng)式稱為首一多項(xiàng)式，如 。

因式分解

把一多項(xiàng)式分成幾個(gè)整式的積，稱為因式分解。這些整式可稱因式。

以下是常用的因式分解公式

多項(xiàng)式的運(yùn)算

多項(xiàng)式乘法

把兩個(gè)多項(xiàng)式相乘時(shí)，第一個(gè)多項(xiàng)式的每一個(gè)項(xiàng)都要與第二個(gè)多項(xiàng)式的每一個(gè)項(xiàng)相乘。例如：

也可以利用矩陣乘法來(lái)進(jìn)行：

多項(xiàng)式除法

主條目： 綜合除法

多項(xiàng)式的除法與整數(shù)的除法類似。

（1）把被除式、除式按某個(gè)字母作降冪排列，并把所缺的項(xiàng)用零補(bǔ)齊．

（2）用被除式的第一項(xiàng)去除除式的第一項(xiàng)，得商式的第一項(xiàng)．

（3）用商式的第一項(xiàng)去乘除式，把積寫(xiě)在被除式下面（同類項(xiàng)對(duì)齊），消去相等項(xiàng)，把不相等的項(xiàng)結(jié)合起來(lái)．

（4）把減得的差當(dāng)作新的被除式，再按照上面的方法繼續(xù)演算，直到余式為零或余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時(shí)為止．被除式=除式×商式+余式

如果一個(gè)多項(xiàng)式除以另一個(gè)多項(xiàng)式，余式為零，就說(shuō)這個(gè)多項(xiàng)式能被另一個(gè)多項(xiàng)式整除

例如，計(jì)算。

因此，商是，余式是。 缺項(xiàng)補(bǔ)0

多項(xiàng)式座標(biāo)圖例子

一些低次數(shù)的多項(xiàng)式座標(biāo)圖：

2次多項(xiàng)式: f( x) =  x2-  x- 2 = ( x+1)( x-2)3次多項(xiàng)式: f( x) =  x3/5 + 4 x2/5  - 7 x/5 - 2 = 1/5 ( x+5)( x+1)( x-2)

4次多項(xiàng)式: f( x) = 1/14 ( x+4)( x+1)( x-1)( x-3) + 0.55次多項(xiàng)式: f( x) = 1/20 ( x+4)( x+2)( x+1)( x-1)( x-3) + 2

多項(xiàng)式函數(shù)及多項(xiàng)式的根

給出多項(xiàng)式 f∈R[x1,...,xn] 以及一個(gè) R-代數(shù) A。對(duì) (a1...an)∈An，我們把 f中的 xj都換成 aj，得出一個(gè) A中的元素，記作 f(a1...an)。如此，f可看作一個(gè)由 An到 A的函數(shù)。

若然 f(a1...an)=0，則 (a1...an) 稱作 f的根或零點(diǎn)。

例如 f=x2+1。若然考慮 x是實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、或矩陣，則 f會(huì)無(wú)根、有兩個(gè)根、及有無(wú)限個(gè)根！

例如 f=x-y。若然考慮 x是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)，則 f的零點(diǎn)集是所有 (x,x) 的集合，是一個(gè)代數(shù)曲線。事實(shí)上所有代數(shù)曲線由此而來(lái)。

代數(shù)基本定理

代數(shù)基本定理是指所有一元 n 次（復(fù)數(shù)）多項(xiàng)式都有 n 個(gè)（復(fù)數(shù)）根。

多項(xiàng)式的幾何特性

多項(xiàng)式是簡(jiǎn)單的連續(xù)函數(shù)，它是平滑的，它的微分也必定是多項(xiàng)式。

泰勒多項(xiàng)式的精神便在于以多項(xiàng)式逼近一個(gè)平滑函數(shù)，此外閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)都可以寫(xiě)成多項(xiàng)式的均勻極限。

任意環(huán)上的多項(xiàng)式

多項(xiàng)式可以推廣到系數(shù)在任意一個(gè)環(huán)的情形，請(qǐng)參閱條目多項(xiàng)式環(huán)。